一次関数の傾きが右下がりのグラフなのにプラスになったら、xとyで同じ向きに座標を引いたか確かめます。AからBへ向かうなら、xもyも「Bの座標−Aの座標」です。逆向きの計算では、二つの差がそろって反転するので、割り算の答えは変わりません。二つの図で点をたどり、どこで符号がずれたかを見つけます。

傾きの符号を確かめるには、出発点と到着点を決める

学校図書の中学校数学教材では、一次関数の変化の割合を直線の傾きと呼び、グラフ上で横へ進んだときの縦の変化と対応させています。たとえば右へ1進むと上へ2進む直線なら、変化の割合は2です。右下がりの直線なら、右へ進む間にyの値が減るので傾きは負です。グラフがあるときは、計算の前に右側の点が上か下かを見て、符号の見当をつけておきます。

ここからの座標は練習用の自作例です。Aを（−1, 4）、Bを（3, 1）とし、二点を通る直線を考えます。AからBへ進む場合、xは−1から3へ、yは4から1へ変わります。どちらの座標もBの値からAの値を引きます。xの差は3−（−1）＝4、yの差は1−4＝−3。したがって傾きは−3/4です。xが1増えるとyが3/4減る、という読み方もできます。

途中式の上に「A→B」と小さく書くだけで、引く順番を確認できます。負の数を引く式では、出発点の−1をかっこに入れます。式の最初のマイナスと、変化量の符号を読み分けるためです。符号が合わない場合は、答えを丸ごと消す前に、xの行とyの行のどちらが別の点から始まったかを探します。

二点を逆向きにたどると、横と縦の差が両方変わる

図の矢印は、二点の変化を横と縦に分けて数えるために引いています。一次関数のグラフそのものはAとBを直接結ぶ直線です。逆向きの図ではBから出発して、Aに着きます。xの差は−1−3＝−4、yの差は4−1＝3。3÷（−4）も−3/4です。左向きではyが増えますが、同時にxが減るため、直線の傾きは同じです。

「上へ進んでいるのだから傾きは正」と考えたら、どちらへ向かっているかをもう一度見ます。グラフの右上がり・右下がりは、右へ向かって見る言い方です。左へ向かえば、同じ右下がりの直線を上へたどります。矢印を左右で入れ替えて、yだけを見ていたのか、xの減少も式に書けていたのかを確かめてください。

最後の行で、xはAからB、yはBからAを見ています。4も3も計算そのものは合っていますが、二つの変化が同じ移動を表していません。分数の形になったときは、上に書いたyの式と下に書いたxの式の先頭が、どちらも同じ点の座標になっているかを見ます。ここまで確認して符号が合わないときは、かっこを開いた計算を一行ずつ点検します。

図の見た目と式が食い違うときの検算

保護者が隣で見るときは、「ここはマイナスだよ」と言う前に、どの点からどの点へ進んだかを本人に指してもらいます。答えの符号だけでは、座標を読み間違えたのか、片方だけ逆に引いたのかは分かりません。「式の最初の数字は図のどの点？」と、xとyで一度ずつ聞くと、書いた式をそのまま使って調べられます。

同じ二点の逆向きだけで合格とせず、別の区間でも確かめられます。この例のAとBの真ん中は（1, 2.5）です。Aから真ん中まで進むと、xは2増え、yは1.5減ります。−1.5÷2も−3/4です。移動の長さが変わっても比が同じなら、最初の二点の座標だけを暗記したかどうかも見分けられます。学校で扱う別のグラフでは、まず「同じ直線の上の二点か」を確認します。

直線が水平なら、異なるxの二点でyの差は0となり、傾きは0です。縦線上の二点ではxの差が0なので、割り算で傾きを出せません。その二点は同じxに異なるyが対応するため、yをxの一次関数として表したグラフにはなりません。差が0のときは、分子と分母のどちらが0かを式で確かめます。

一目盛りの大きさが違う図では、座標に戻る

別の練習として、横は一目盛り2、縦は一目盛り5のグラフを考えます。点Cは（2, 15）、点Dは（6, 5）です。CからDまで図の上では右に2マス、下に2マスです。座標の差で書けば、xは6−2＝4、yは5−15＝−10。傾きは−10÷4＝−5/2です。マスの数をそのまま使うと−2÷2＝−1となり、符号は合っていても傾きの大きさが変わります。

この問題では、逆向きでもマスだけで計算すると−1になるので、向きを変える検算だけでは見つかりません。横と縦の数字を目盛りから読み、選んだ二点の座標を先に書くと確かめられます。密度など別の理科のグラフでも、軸の量と目盛りの大きさを先に見ると読み違いを減らせます。密度のグラフの読み方では、軸と単位の確認を別の例で試せます。

座標表でも、出発と到着を入れ替えてみる

グラフが手元にない場合も、二つの座標から同じ確認ができます。自作例として、Eは（−4, −5）、Fは（−2, −1）です。EからFへ進むと、xの差は−2−（−4）＝2、yの差は−1−（−5）＝4です。どちらの座標も負ですが、右に進む間にyが増えるので傾きは4÷2＝2です。座標の符号と変化量の符号を混同しやすいときは、出発から到着まで数直線上で移動してみます。

反対にFからEへ進むと、xは2減り、yは4減ります。割り算は（−4）÷（−2）＝2です。右下がりの図とは違い、今度は二つの変化量が同じ符号になりました。家庭では、計算を先に見せず、EとFの位置だけを紙に書いて「右にあるのはどちら？ その点のyは前より大きい？」と聞きます。右上がりだと先に判断したうえで式を書くと、符号を数字の見た目だけで決めていないことを確かめられます。

同じ直線上の点としてFの次に（0, 3）を考えると、xがさらに2増えたときyも4増えます。式にするとy＝2x＋3で、x＝0のときの3は切片です。傾きと切片を混同したら、グラフの縦軸と交わる場所に丸を付け、その丸と別の点を使ってもう一度差を出します。縦軸の位置を読む作業と、二点の変化を比べる作業を分けて練習できます。

座標表から先に読んでよいのは、同じ直線上にあり、xの値が異なる二点です。同じxの値を二度選んだら、割り算をする前に点の選び方へ戻ります。点を選べる問題では、負の数が苦手なら最初は差が見やすい二点を使い、次に両方ともxが負の二点で確かめます。両方の答えが合えば、特定の配置の図を覚えたことだけに頼らずに説明できます。

家庭教師へは、合わなかった途中式を一つ伝える

「右下がりは分かりますが、二点から計算すると＋3/4になりました。xはAからB、yは逆に引いていました。次は途中式を見ながら、どちら向きでも同じ傾きになるか確かめたいです」と伝えると、授業で見たい箇所が明確です。目盛りで迷った場合は、縦横で異なる目盛りを一緒に読み、座標を書いてから計算する練習をお願いできます。翌週は目盛りの違う別題を一問だけ解き、横と縦の差を順に説明できるかを見ます。

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