漸化式で手が止まるときは、公式を探す前に、初項から次の項を一つずつ作れるかを確かめましょう。添字のnは番号、aの右下にnを付けた記号はその番号の項の値です。等差数列と「2倍して3を足す」自作例を使い、最初の数項・一般項・検算をつなげます。家庭教師へは、分からなくなった式の行を指定して相談できます。

添字は番号、項はその場所の値

例えばa₁＝3は「第1項の値が3」という意味です。下付きの1は足す数ではありません。a_n+1は、a_nの次の番号の項を表します。一方、a_n＋1は、同じ項の値へ1を足した式です。右下に入っている範囲がどこまでかを、最初に見分けてください。

熊本高専の公開教材も、隣り合う項の関係を表す式として漸化式を導入し、初項とあわせて示されることが多いと説明しています。ここでは、初項と次の項を作るルールが与えられた基本例を扱います。問題文のnの範囲も条件の一部なので、式だけを切り取らず一緒に読みます。

例として、a₁＝3、a_n+1＝a_n＋4（n＝1,2,…）を見ます。最初の式は出発点、二つ目は「今の値に4を足すと、次の項になる」というルールです。nそのものへ4を足すのではありません。

「n＝2を入れたのに、左がa₃になるのはなぜか」を説明できれば、項と番号の対応が見えてきます。ここで止まる場合は、一般項の公式へ進む前に、この表をもう一つの簡単な例で作ってみると、先生へ確かめてもらう箇所も明確になります。

一般項のn−1は、出発点からの操作回数

先ほどの例は、項が一つ進むごとに4増える等差数列です。a₁からa₂へ進むときは1回、a₄へ進むときは3回、4を加えています。第n項へ進むまでの回数はn−1回です。

よくある誤答のa_n＝3＋4nでは、n＝1のときに7となり、初項3に合いません。一般項とは「番号nから、その項の値を直接表す式」です。第1項で既に4を一度加えてしまっていないかを確かめてください。

漸化式を使えば前の値から次を求められ、一般項があれば指定された番号の値を直接求められます。どちらが偉い式ということではなく、表している関係が異なります。例えば第20項なら、一般項へn＝20を代入して79です。ここでも番号20と項の値79を分けて読みます。

自作例：「2倍して3を足す」を等比数列へつなぐ

次はa₁＝1、a_n+1＝2a_n＋3（n＝1,2,…）です。この問題と数値は編集部作成の練習例です。まず、a₂＝2×1＋3＝5、a₃＝2×5＋3＝13、a₄＝2×13＋3＝29となります。「2倍」という語だけで、元の数列がそのまま公比2の等比数列だとは判断できません。3を足す部分が残っているためです。

ここで、同じ数を足して式を整理することを考えます。両辺へ3を足すと、次のようになります。

b_n＝a_n＋3と置けば、左辺はb_n+1、右辺は2b_nです。したがってb_n+1＝2b_nとなり、こちらは公比2の等比数列です。元の数列を無理に等比だと見なすのではなく、3を足した新しい数列の関係を使っています。

なぜ3なのかは、定数cを使って確かめられます。a_n+1＋c＝2a_n＋3＋cを、2(a_n＋c)＝2a_n＋2cにそろえるには、3＋c＝2cが必要です。これを解くとc＝3です。「この型だから3を足す」と覚えるだけでなく、両側の定数部分を合わせる操作として説明できます。

変形した数列では、初項も作り直す

b_n＝a_n＋3なので、b₁＝1＋3＝4です。元の初項1を、そのまま新しい数列の初項にしないでください。初項4、公比2の等比数列の一般項は、4から2倍する操作をn−1回行う式です。

最後はa_nへ戻します。問題が求めているのは元の数列の一般項なので、b_nを求めたところで終わりにしないことも大切です。変形の目的、新しい初項、元へ戻す操作を、それぞれ一行で区切ると見落としを探しやすくなります。

例えばb₁を1としてしまうと、誤った式a_n＝2ⁿ⁻¹−3が出て、n＝1では−2になります。元の初項1と一致しないので、初項の扱いを見直す必要があります。数値の小さいところから確かめると、計算を大量に続ける前に違いを見つけられます。

初項と元の漸化式へ戻して検算する

一般項が出たら、まず初項へ代入し、次に元の漸化式を満たすかを確認します。先ほどのa_n＝4×2ⁿ⁻¹−3については、n＝1で1となります。さらに、左右を同じnを使って表します。

左右が一致し、初項も合うことが分かります。数項の値を比べる確認と、文字式を元の関係へ代入する確認を組み合わせてください。「最初の数個が合った」だけで、どんな番号でも成り立つと決め付けないことが大切です。

添字の処理では、a_n+1を求めるときに一般項のnを丸ごとn＋1へ置き換えます。指数は(n＋1)−1＝nになります。n＋1の一部だけを置き換えると、元の式との検算が合わなくなります。指数や括弧の扱いで止まる場合は、そこを分けて練習する方法もあります。

自力確認：足す定数ではなく、引く定数になる例

自分で試す問題として、a₁＝4、a_n+1＝3a_n−2（n＝1,2,…）の一般項を考えてみましょう。解説を見る前に、最初の数項、何を足すか引くか、新しい初項までを書きます。前の例と同じ3を足すと決めず、定数部分を合わせるところから始めます。

両辺へcを足して3(a_n＋c)へそろえるなら、−2＋c＝3cなのでc＝−1です。つまり今回は1を引きます。a_n+1−1＝3a_n−3＝3(a_n−1)となり、b_n＝a_n−1と置けます。

新しい初項はb₁＝4−1＝3です。したがってb_n＝3×3ⁿ⁻¹＝3ⁿで、求める一般項はa_n＝3ⁿ＋1です。最初の値は4、10、28となり、元のルールでも4から3倍して2を引けば10、その次は28になります。

もし最後を3ⁿ−1としてしまうと、n＝1で2となり、初項4に合いません。b_n＝a_n−1からa_nへ戻すときは、1を足します。どこで符号が変わるかを、置いた式から確かめてください。

前の例を覚えていれば解けたのか、新しい定数でも理由を説明できたのかを、この問題で確認できます。解答を見て直した箇所はそのまま残し、先生へは「定数を選ぶ式は立ったが、最後に元へ戻す符号を誤った」のように、直した行を伝えましょう。

家庭教師へは、止まった式の行と確認したいことを渡す

家庭教師へ「漸化式が全部分かりません」と頼む前に、どの操作なら自力でできたかを残します。最初の数項は作れるが一般項へ進めないのか、3を足す理由が分からないのか、変形した初項を忘れるのかを分けると、先生が扱う範囲を相談しやすくなります。

授業中にできたことも、先生のヒント前と後を分けて記録します。次回は同じ数値の解答を暗記していないか、初項や定数を変えた基本例で確かめてもらえます。すぐに難しい型を増やす前に、一つの変形を自分で説明できるかを見る進め方です。

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