二次関数の頂点は求められるのに、最大値・最小値を間違えるときは、定義域に入る候補を選ぶ工程を確認しましょう。同じ式を異なる範囲で比べ、頂点を使える場合、使えない場合、端を含まない場合を順に解説します。誤答を家庭教師へ相談するときの記録例も紹介します。

頂点を出した後は、使えるxの範囲を確かめる

二次関数の最大・最小で迷うときは、平方完成の計算と、候補を選ぶ判断を分けて確認します。頂点を正しく求めても、その頂点のx座標が定義域の外なら、その値を答えには使えません。また「最大値は2」と書いたとき、それがyの値なのか、その値をとるxなのかも区別する必要があります。

定義域は、問題で動かしてよいxの範囲です。値域は、その範囲を動かした結果として出てくるyの範囲です。まず問題の不等式を一行で写し、両端を含む記号なのかを確かめましょう。グラフ全体の最も低い点と、指定された部分の最も低い点は、同じとは限りません。

同志社大学の公開教材は、定義域が閉区間なら左端・右端・頂点のy座標を比べ、範囲外の頂点は含めないと説明しています。東京書籍の解説も「軸と定義域の位置関係」に注目しています。以下では、この考え方を自作例で確かめます。特定の学校の問題・採点基準を再現したものではありません。

赤点からの補習計画や、計算のどこまで戻るかを整理したい場合は、高校数学の赤点対策も使えます。本稿では、同じ放物線でも範囲によって候補が変わる理由に絞ります。

平方完成で、軸と頂点を一組にする

練習には f(x)＝x²＋2x−3 を使います。平方完成すると f(x)＝(x＋1)²−4 です。(x＋1)²を展開すればx²＋2x＋1なので、そこから4を引くと元の式へ戻ります。途中で定数を落としていないか、この逆向きの確認ができます。

頂点のx座標は−1です。「括弧の中が＋1だから軸は＋1」としないよう、二乗される部分が0になるxを代入して確かめます。一般に a(x−p)²＋q（a≠0）の軸はx＝p、頂点は(p, q)です。今回ならx＋1＝x−(−1)と対応します。

図を描くときは、軸の縦線と左右の端の位置関係が分かる程度から始められます。方眼を丁寧に埋める前に、指定範囲だけを太くなぞると、グラフ全体の頂点を使ってよいか判断しやすくなります。最後の値は見た目だけで決めず、式へ代入します。

閉じた区間では、端と範囲内の頂点を比べる

まず −3≦x≦2 の場合です。−3、−1、2を左から順に並べると、軸のx＝−1は範囲内にあります。そのため、両端と頂点が候補です。端の二つだけを比べると、途中にある最小値を落としてしまいます。

0、−4、5を比べるので、x＝2のとき最大値5、x＝−1のとき最小値−4です。最大値と最小値はyの値です。「5のとき最大値2」と逆にしないよう、答案を「x＝…のとき、最大値…」という形で書いてみてください。

なぜ、この三つを比べればよいのでしょうか。上に開く今回の放物線では、軸へ近づく間は値が下がり、軸を過ぎて離れると値が上がります。範囲内で最も軸に近い点が頂点、最も遠い点がどちらかの端になります。これは二次関数を閉じた有界区間で考える話です。別の種類の関数へ、同じ候補の選び方をそのまま広げないでください。

軸が範囲外なら、頂点を候補から外す

式を変えず、範囲を 0≦x≦2 に変えます。軸の−1は左端0より左なので、定義域に入りません。グラフ全体の最小値−4を、そのままこの問題の最小値にするのは誤りです。この範囲では軸から離れる方向に進むため、左端から右端へ値が上がります。

f(0)＝−3、f(2)＝5より、x＝0のとき最小値−3、x＝2のとき最大値5です。候補表には「x＝−1：範囲外なので不採用」と一行書けます。実際に−1を0≦x≦2へ入れると、左側の0≦−1を満たしません。値を計算できることと、問題で許されたxであることは別です。

今度は −4≦x≦−2 です。軸の−1は右端−2より右にあるため、やはり範囲外です。ただし、今回は左端から右端へ動くと軸に近づきます。f(−4)＝5、f(−2)＝−3なので、x＝−4のとき最大値5、x＝−2のとき最小値−3です。

左右のどちらの端が大きいかを、xの数の大小だけで決めないのがポイントです。軸からの距離と、二次の係数の符号を確認します。まだ迷う段階では、採用した候補を実際に代入して比べれば、位置関係の判断と計算結果を照合できます。

下に開く場合と、端を含まない場合を区別する

下に開く g(x)＝−(x＋1)²＋4 を −3≦x≦2 で考えます。軸は同じx＝−1ですが、二乗部分に負号があるので、軸から離れるほど値が下がります。g(−3)＝0、g(−1)＝4、g(2)＝−5より、最大値4（x＝−1）、最小値−5（x＝2）です。軸が範囲内なら必ず最小になる、とは覚えないでください。

次に、元の f(x)＝(x＋1)²−4 に戻り、−3≦x<2 とします。右端の2は含まれません。軸の−1は含まれるので、最小値−4はあります。一方、xを2へ近づければyは5へ近づきますが、5には届きません。したがって、この場合は最大値がありません。

「最大値は5未満」と書くだけでは、最大値が存在するかへの答えになりません。値域なら −4≦y<5 と書けますが、最大値を問われたら「なし」と区別します。また、端を含まないから最大・最小の両方がない、という結論にもなりません。この例の最小値は、範囲の内部で実際にとれています。

端の白丸・黒丸を付けるときも、飾りとして描くのでなく「そのxを代入した値が答えの候補として使えるか」を言葉で説明しましょう。両端が含まれるか、軸が範囲内か、二次の係数が正か負か。この三点を別々に確かめると、似た問題での取り違えを探せます。

誤答は、計算と候補の選択を分けて直す

解答を見て全部消す前に、最初の答案を残します。例えば「−3≦x≦2で、端の0と5だけを比べて最小値0とした」なら、観察できたのは頂点の候補が抜けたことです。これだけで、計算力不足や注意力の問題だとは断定できません。本人が軸の位置を説明できるか、別に確認します。

記録は「最初に自力で書いた候補／出したヒント／ヒント後の説明／別問での結果」に分けます。「先生に軸を指してもらうと頂点を追加できた」は、ヒントなしで選べたこととは異なります。保護者は正解数だけで評価するより、次に先生へ確かめたい工程を一つ残す役に絞れます。

確認用には同じ式の範囲を −2≦x≦0 に変え、解説を見ずに候補を選んでみましょう。両端の値はともに−3、内部の頂点では−4なので、最大値−3をとるxは−2と0の二つです。一方だけを書かなかったかも点検できます。解答を暗記した問題の再現と、条件の違う問題へ使えた結果は分けて記録してください。

家庭教師には「どこで候補を選べなくなったか」を渡す

講師へは、消す前の答案と定義域を一緒に見せると、説明してほしい箇所を具体化できます。授業を相談する場合は、先生が計算を見せる時間だけでなく、本人が候補を選んで理由を話す時間、その後に別問を自力で試す時間を含められるか確認します。詳しい添削の頼み方は、大学受験数学の答案添削で整理しています。

かてナビでは相談メッセージを無料で何通でも利用できます。外部連絡先や詳しい住所などの共有は、生徒の有料登録後です。最初の相談は、学習範囲・見てほしい答案・指導の進め方に絞れます。体験での確認点は家庭教師の体験授業チェック、契約全体の確認は家庭教師の個人契約ガイドを参照してください。

今日の復習では、解き直す問題を一つ選び、端・軸・含む条件を先に書いてみましょう。その後、候補に入れた理由と外した理由を添えます。答えの数字が合ったかに加え、範囲が変わった次の一問でも判断できたかを確認することが、次の練習を選ぶ材料になります。

よくある質問