連立方程式の加減法と代入法で迷ったら、どの文字を消し、最初にどの一行を書くかを比べましょう。一文字だけになっている式なら代入を、同じ文字の係数がそろっているなら加減を試し、答えは元の二つの式に戻して検算します。

まず、消す文字と最初の一手を決める

連立方程式では、二つの式に書かれているxとyは共通です。式ごとに違うxやyを探すのではなく、両方で同じ値を使える組を求めます。啓林館の教科書Q&Aは、加減法も代入法も、一つの文字を消して一元一次方程式に帰着する方法だと説明しています。

学校図書の中学校数学教材では、加減法と代入法の両方で同じ連立方程式を解き、得られる結果や方法を選んだ理由を比べます。式の形によって計算しやすい方は変わります。試験や授業で解法を指定されたときは、その指示に従ってください。選べる場合は、答えが出るまで全部想像するより、消す文字を一つ決め、最初の一行を比べます。

表は、どの方法を必ず使うかの決まりではありません。ある式で代入しやすい形が見えていても、二式の係数が同じなら、加減法の最初の行を書きやすい場合もあります。ここでは四つの自作問題で確認します。教科書や試験の問題を再現したものではありません。

例A。代入する式をかっこで囲む

① x＝2y−3、② 3x＋2y＝15とします。①の左側がxだけなので、②のxを2y−3に置き換えます。②のxには3が掛かっているため、最初の一行は3（2y−3）＋2y＝15です。3を2yにも−3にも掛けるので、6y−9＋2y＝15、8y＝24、y＝3となります。①へ戻すとx＝2×3−3＝3です。

解は（x, y）＝（3, 3）です。①では右辺が2×3−3＝3で左辺と一致します。②では3×3＋2×3＝15で、こちらの右辺とも一致します。①でxを計算した直後は①が成り立つのは自然なので、もう一方の②でも確かめることが特に大切です。

仮に（5, 4）を候補にすると、①は5＝2×4−3で成り立ちます。しかし、②の左辺は3×5＋2×4＝23で、右辺の15と一致しません。片方で正しかったという印だけで検算を終えると、この組を見落とします。「xだけ合う」「yだけ合う」という見方をせず、xとyの組ごと確認しましょう。

かっこを外す前に、3がどこまで掛かるかが分かる一行を残します。たとえば3（2y−3）を6y−3とした場合は、解を出し直す前に、3×（−3）が−9になるかを確認します。式を書き直す範囲をそこに絞ると、代入した考え方までやり直す必要がなくなります。

例B。係数が反対なら、二式を足して消す

① 2x＋3y＝13、② 5x−3y＝1とします。yの係数は＋3と−3です。①と②を足すと、左辺は7x、右辺は14になります。7x＝14からx＝2。①へ戻すと4＋3y＝13なのでy＝3です。②の左辺は5×2−3×3＝1で、①の左辺も2×2＋3×3＝13となります。

ここで「加減法だから引く」と覚えて①から②を引くと、3y−（−3y）＝6yとなり、yは消えません。足すか引くかを決めるときは、最初に消したい文字の項だけを見ると判断できます。その上で、実際に等式を足すときはxの項も右辺も同じように足します。

右辺を加減し忘れると、左辺の文字だけが都合よく消えていても式は保てません。例えば7x＝13とした場合は、xの係数の計算を調べる前に、①の右辺13と②の右辺1を足したか見ます。横に①＋②と書いておけば、どの式からどんな演算で進んだかを後から追えます。

例C。二通りで解けるときは、途中の操作を比べる

① y＝4−2x、② 3x＋y＝9とします。代入法では②のyを置き換えて3x＋（4−2x）＝9と書けます。x＋4＝9からx＝5です。加減法なら①を2x＋y＝4と整え、②から整えた①を引くとx＝5です。①でy＝4−2×5＝−6となります。

この例は、代入法ならかっこを一つ扱い、加減法なら①を整えてから引くという違いがあります。両方で答えは（5, −6）で、②の左辺は3×5＋（−6）＝9です。式の形が代入向きに見えても、加減法で無理なく計算できることを確認できます。方法を選んだ理由を「yがそのまま入れられる」「整理するとyの係数がそろう」のように書いてみます。

負の値を代入する検算では、y＝−6をかっこで囲むと見直しやすくなります。「引く」という演算と「負の数」を別に見られるためです。使った方法が違って答えが一致しなかったら、どちらを正しいと決める前に、両方の候補を元の二式へ戻します。

例D。両辺に同じ倍率を掛けてから比べる

① 3x−2y＝−1、② 2x＋5y＝12とします。xを消すなら、①を2倍し6x−4y＝−2、②を3倍し6x＋15y＝36にします。後者から前者を引くと19y＝38、y＝2です。①へ戻すと3x−4＝−1なのでx＝1です。

yを消す方法では、①を5倍し15x−10y＝−5、②を2倍し4x＋10y＝24にします。これらを足すと19x＝19なのでx＝1です。こちらは掛ける倍率が違いますが、最後の演算は足し算です。負の項を含む式を引く操作で間違えやすいなら、どちらの一手が見通しよく書けるか比べます。

答えを元の①に入れると3×1−2×2＝−1、②では2×1＋5×2＝12です。加減に使った倍数が合っているか心配なときは、倍率を掛ける前の式に戻って検算します。途中で右辺の−1を2倍し忘れた場合、変形した式だけを再利用すると同じ誤りが残りやすいからです。

答えが合わないときに戻る行を決める

見直す行が決まったら、答案全部を消さず、最初にずれた一行の横に直した式を書きます。表の四つは互いに別の確認です。一つの文字が消えたように見えても、倍数や符号が違えば元の二式とは別の条件になります。どの行で何をしたかを言葉で説明できると、次の問題で似た誤りを見つけやすくなります。

家庭教師には「連立方程式で、加減法と代入法のどちらを選ぶか、式を一行だけ書いて理由を説明する練習をしたいです。候補の組を元の両式に戻して確認するところも見てください」と相談できます。元の二式と、途中の誤りが残った答案を用意し、最初の一行から確認してもらいます。次回は係数を変えた新しい問題で自力の一行を試します。

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