往復の平均の速さは、往復で進んだ道のりを、問題が指定した時間で割ります。出発から戻るまでを聞かれたら、行きと帰りに加えて休憩の時間を入れます。移動していた間だけを聞かれたら、休憩を除きます。同じ往復でも答えが変わるので、式を書く前に、どこからどこまでの時間かを確かめましょう。

問題が聞いている時間の始まりと終わりを決める

平均の速さを計算するときは、まず問題文の問いを読み、始まりと終わりに線を引きます。「家を出てから家に戻るまで」なら、途中で止まっていた時間もその間にあります。「歩いていた時間だけで」なら、同じ往復でも止まっていた時間を外します。問題に休憩が書いてあるという理由だけで毎回足すのではなく、問われた時間の範囲を決めます。

速さは、単位時間にどれだけの道のりを進むかを表す量です。啓林館の算数用語集では、平均の速さについて、時間の単位を1時間にしたものが時速、1分にしたものが分速、1秒にしたものが秒速と説明しています。往復を分速で答えるなら、合計の道のりをメートル、時間を分にそろえておくと、一分あたり何メートルに当たるかが式に現れます。

休憩中に進んだ道のりは0mです。それでも、出発から戻るまでに含まれる休憩なら、合計時間はその分だけ長くなります。止まった区間を表に書くと、0mだから行ごと消すのか、0mでも時間は残すのかを考えられます。道のりを足す欄と時間を足す欄を分けておくと、何を残すか決めやすくなります。

同じ往復を、休憩込みと移動中だけで計算する

以下は、時間の選び方を練習するための自作問題です。家から公園までの道のりは片道1,800m。9時ちょうどに家を出て、分速90mで歩きます。公園に着いて10分休憩したあと、同じ道を分速60mで家へ戻ります。家を出てから家へ戻るまでの平均の速さと、歩いていた間だけの平均の速さを、それぞれ求めます。

行きの時間は1,800÷90＝20分です。帰りは1,800÷60＝30分です。行きに着いた9時20分から10分休んで9時30分に出発し、30分歩いて10時に家に戻ります。時間を出したら、足し合わせる前に、同じ行にその区間の道のりと時間を書きます。

行きも帰りも同じ1,800mの道を進むので、往復の道のりは3,600mです。家から出発して元の場所へ戻っても、歩いた道のりは0mにはなりません。開始から戻るまでには、20＋10＋30＝60分かかりました。平均の速さは3,600÷60＝分速60mです。この計算は、もし一分ごとに同じ道のりを進んだとしたら、60分で3,600mになる速さはいくつか、と考えています。

歩いていた間だけを聞かれたら、道のりは同じ3,600mで、時間は20＋30＝50分です。3,600÷50＝分速72mになります。表で外したのは、道のりが0mの休憩の行です。休憩を含めた答えが分速60mで、帰りの速さと同じ数字になったのは、この例の距離と時間によるものです。往復の平均を求めるといつも遅い方の速さになる、という決まりはありません。

90と60を足して2で割ると、何が変わるか

行きと帰りがあると、90と60を足して2で割り、分速75mと答えたくなります。お茶の水女子大学附属小学校の算数指導案でも、往復の速さを足して2で割ってよいかを問い、行きと帰りにかかる時間の違いに注目しています。今回、分速90mで進んだ時間は20分、分速60mで進んだ時間は30分です。速さを一回ずつ足すと、それぞれ同じ長さの時間だった場合と同じ扱いになります。

分速75mで50分進んだとすると、75×50＝3,750mです。実際に往復した道のり3,600mより150m長いので、分速75mでは今回の道のりと時間に合いません。計算の正しさを確かめたいときは、求めた分速に、その式で使った時間をかけます。分速72m×50分なら3,600m、分速60m×60分でも3,600mに戻ります。どちらが答えかは、使った時間が問いに合うかで決まります。

二つの速さを同じ長さの時間ずつ使い、間に止まる時間もない場合は、二つを足して2で割った値と全体の平均が一致します。たとえば分速90mと60mで10分ずつ進むなら、道のりは900mと600mで、1,500÷20＝75です。同じ道のりを違う速さで往復する場合は、一般に所要時間が違います。速さを二つ見つけたらすぐ平均するのではなく、どの量が同じかを先に確かめます。

答えから休憩時間を逆算するときも、同じ表を使う

同じ往復で「休憩も含めた平均を分速60mにするには、何分まで休めるか」と聞かれたとします。進む道のりは3,600mで、分速60mなら合計時間は3,600÷60＝60分です。歩いている時間は50分なので、休憩に使えるのは10分です。平均を「分速60m以上」とするなら、60分より長くかかると平均は下がるので、同じ条件で10分が上限です。

時速で答える場合は、答えが表す一分あたりの道のりを一時間あたりに直します。分速60mなら、一時間では60×60＝3,600mです。1,000mが1kmなので時速3.6kmです。60分を60時間のように扱ったり、メートルをキロメートルに直し忘れたりしないよう、「分→時間」と「m→km」のどちらを変えたかを式の下に書きます。

問題に時刻が出るときは、「9時30分」をそのまま何分かかったかの欄に入れません。9時20分に着き、9時30分に出たなら、その間の長さは10分です。時刻の列を時間の列と分け、到着した時刻と次に出発した時刻の差で埋めると、計算の対象がはっきりします。出発から帰るまでの時刻が両方分かるなら、その差が行き・休憩・帰りの合計と一致するかでも検算できます。

家庭教師に見てもらうなら、割った時間を先に伝える

保護者が答案を見るときは、「平均の公式を覚えた？」と聞く前に、式の下に「何mを何分で割ったか」を書いてもらいます。分速75mと答えた子と、分速72mを休憩込みの問いに書いた子では、同じ誤答でも直す箇所が違います。前者は道のりを戻して確かめ、後者は休憩を含む範囲を時刻の上で囲みます。どこで数を選んだかが分かれば、公式を最初からやり直す必要があるかも判断できます。

講師に相談する例は「行きは20分、帰りは30分まで計算できました。出発から帰宅までを聞かれたのに、最後は50分で割りました。初回に、休憩を含む問いと含まない問いを見比べ、本人が分母を説明できるか見ていただけますか」です。問題全体の画像を渡しにくい場合は、教材の扱いを確かめ、本人が選んだ式と理由だけでも伝えられます。

次の一問では、同じ表のまま問いだけを変えます。「歩いていた間」と言ったら休憩を外し、「出発から戻るまで」と言ったら含められるかを見ます。両方で正しく割れても、理由を言えなければ、時刻と時間を別の欄に書き直します。自分で説明できるようになったら、次に片道ずつの時間を求める問題や、休憩時間を逆算する問題へ進めます。

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