中1数学の反比例の表で空欄があったら、まず x と y が両方書かれた列を探し、縦に掛けます。その積を、空欄と同じ列にある値で割ると候補が出ます。最後にその候補を同じ列の値と掛け、最初の積に戻るかを確かめます。

両方の値がそろった列を、まず縦に囲む

文部科学省が掲載する中学1年生の数学ワークシート例では、対応する x と y の積が一定で、比例定数と等しいことを示しています。y が x に反比例するとき、式は y＝a÷x と書けます。a は0でない比例定数です。x が0でなければ、式の両辺に x を掛けて x×y＝a に戻せます。この式が、空欄を埋めたあとに使う検算です。以下の問題は手順を練習するための自作例です。

例えば、同じ列に x＝−3、y＝8 と書いてあったら、−3×8＝−24 です。絶対値だけを掛けて24と書くと、次の列でも符号がずれてしまいます。数字を写すときに −3 を丸で囲み、−3 と 8 が縦に対応していることを見ます。隣の列の値を拾うと、正しい式でも別の組を計算してしまいます。

縦の列が見つかったら、表の下に「積は −24」と一行書きます。空欄の列を移動するたびに、元の −3 や 8 を探し直さなくて済みます。値がそろう列がいくつかあるなら、もう一列も掛けて一致するか確かめます。積が違う場合は、値を写し間違えていないかと、そもそも反比例だと示されているかを確認します。

空欄の候補を求めて、元の積に戻す

x＝6、y が空欄なら、6×□＝−24 と書きます。□＝−24÷6＝−4 なので y に −4 を入れます。最後に 6×（−4）＝−24 と掛け直します。6×4＝24 も計算としては正しいですが、目標の積と符号が違います。掛け直すと、途中の計算が合っていたように見えても、表の条件を満たさない答えを見つけられます。

x＝−6 の列なら、同じ −24 を −6 で割ります。負の数どうしを割ると正の数になるので y＝4 です。x＝6 の列と比べて y の絶対値は同じです。x と y の符号の組み合わせは、積が −24 になるよう逆になります。どちらも符号を書いた状態で確認しましょう。

逆に y＝−8、x が空欄なら、□×（−8）＝−24 です。今度は −24÷（−8）＝3 で x を出します。式を y＝−24÷x の形だけで覚えていると、どの値で割るか迷うことがあります。空欄と同じ列に書いてある値で割ると決めておけば、x と y のどちらが空欄でも同じ手順で解けます。最後に 3×（−8）＝−24 と検算します。

x＝0 が見えたら、式に入れる前に問題を読み直す

例の式 y＝−24÷x では、x に0を入れると −24÷0 になり、y を求められません。x×y の形で考えても、どんな数に0を掛けても0なので、−24に戻る候補はありません。x の行に0が書いてあるときは、空欄を埋める問題なのか、反比例かどうかを選ぶ問題なのかを読み直します。

比例と反比例のどちらかを見分ける問題では、0以外の列をいくつか使えます。例えば x が2と4で y が6と12なら、縦の組の y÷x は3でそろいます。x×y は12と48でそろいません。反比例だと決まっている表を埋めるときは積を使います。関係を見分けるときは、どの計算で値がそろったかまで言葉にしましょう。二列だけで積が一致しても、ほかの列が見えているなら続けて確かめます。

積、割り算、掛け直しの順でつまずいた場所を探す

積の符号が違ったら、基準の列で −3×8 をどう計算したかを見ます。基準が合っていて空欄の値だけ違うなら、候補を求める割り算の式を見ます。例えば −24÷6 と書けて y＝4 にした場合は、負÷正の符号の確認で直せます。最初からすべてを解き直すと、どこで負号が消えたか見えにくくなります。

横に二つの列を見比べる方法もあります。例えば x＝−3 から x＝−6 へ移ると x は2倍、y は8から4へ半分になります。この見方は、縦に掛けて積が一致したあとに確認できます。x が −6 から6に変わるときに「数字の大きさが同じだから y も同じ」と考えた場合は、積の符号で確かめ直します。マイナスを含めて何倍かを見るのが難しければ、先に縦の計算を書いてください。

積が正になる別の表で、符号の選び方を確かめる

自分で試すなら、x＝−2、y＝−9 が同じ列にあり、次の列の x が3、その次の列の y が −6 だとします。最初の列から積は18です。x＝3 の列は18÷3＝6、その次は18÷（−6）＝−3。検算すると、3×6＝18、（−3）×（−6）＝18 です。最初の例では x と y の符号が異なりましたが、この例では同じ符号になります。積の正負を確かめてから答えの符号を決めると、前の例の答え方をそのまま当てはめずにすみます。

家で見直すなら、答えを隠して「どの二つを掛けた？」「積はいくつ？」「この候補を掛け直すと元の積に戻る？」の順に聞きます。基準の列を選べない場合は、表の二行を同じ列で指さします。基準の積は答えられるものの、負号だけが消える場合は、掛ける式と割る式を一行ずつ残して、どちらの途中に印を付ければよいか本人と考えます。

積がそろわない列を、一つだけ探してみる

次の表が、反比例を表しているか考えます。x が −4、−2、2、4 の順に並び、対応する y が 6、12、−12、6 と書かれているとします。右に行くにつれて y が増えるか減るかを眺めると、判断しづらい並びです。まず左から一列ずつ縦に掛けて、積を下に書いてください。

左の三列は −24、−24、−24 です。最後の列は 4×6＝24 です。そのため、この四列の値をすべて満たす反比例の式は作れません。「ほかの三列が合っているので正しい」と判断すると、最後の負号を見逃します。もし問題で「一つだけ誤りがある」と示されていれば、残りの三列の積 −24 を基準にして、x＝4 のとき y＝−6 と直せます。「表は反比例ですか」とだけ聞かれていたら、値を勝手に直さず、積がそろわない列を理由として示します。

見直しの紙には「どの列か」「積はいくつか」「問題は判定と訂正のどちらを聞いているか」を残します。計算が合っているのに答えがずれたとき、問題の指示に戻る手がかりになります。

家庭教師に相談するなら、表と途中式を一緒に見せる

「同じ列を掛けて定数は出せましたが、x が負の列の y を求めるときに負号が消えます」と伝えると、練習する箇所が決まります。問題の表、基準の積、割り算、掛け直しのうち、書けたところまで先生に見せましょう。式を立てるところから相談したい場合は、中学生の数学の文章題を家庭教師に頼むときの確認事項も参照できます。次の単元で二点を使う場合は、一次関数で傾きの符号を検算する方法につなげられます。

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