作図でコンパスの開きを保つのは、同じ長さを作る操作の組です。垂直二等分線ではAとBの二円、角の二等分線ではOの円弧とP/Qの二円を分けます。最初の開きと次の開きが違ってもよい理由を、新しい二図と条件表で確認し、崩れた組から直しましょう。

「同じ開き」は、どの二回の操作で保つのか

作図の途中で「コンパスの開きを変えない」と聞くと、最初から最後まで絶対に動かせないと思うかもしれません。確かめたいのは、同じ長さを作るために、どの操作とどの操作を組にするかです。針を置く中心と、鉛筆までの半径を分けて見ます。

本稿は、線分の垂直二等分線と、角の内側を二等分する半直線を扱います。以下の図、確認例、相談文は、かてナビが練習用に新規作成したものです。実際の生徒の答案や成績の記録ではありません。角は0度より大きく180度より小さい場合に絞ります。

ベネッセは、垂直二等分線を線分の中点を通り、その線分に垂直な直線と説明しています。「垂直」と「中点を通る」の両方が必要です。真ん中らしい場所へ縦線を描くだけでは、その条件を作れた理由が残りません。

角の最初の開きと、次の二円の開きは、同じでも違っていても構いません。ただし、P中心とQ中心の二円は、互いに同じ半径でかきます。「段階の間で変える」ことと、「等しくする二回の途中で変える」ことを区別しましょう。

垂直二等分線では、AからBへ針を移す間に保つ

線分ABが与えられたら、Aを中心に円弧をかきます。次に、開きを変えずBへ針を移し、前の円弧と上下二か所で交わる円弧をかきます。その二つの交点をU、Vとし、定規でUとVを通る直線を引きます。

二つの交点を作るため、共通の半径はABの半分より大きくします。最初に大きめに開き、紙の中で交点が取れるかを確認してください。交わる場所まで弧をかいていないだけの場合と、半径自体が足りない場合も分けて見直します。

編集部作成図。薄い二円は同じ半径。上下の交点U・Vを通る青い直線が答えです。円は見やすいよう全体を示しています。

ベネッセの作図のコツでも、A中心の円をかいた後にコンパスを閉じず、その開きのままB中心の円をかく手順が示されています。この組を保つから、上の交点UはAからもBからも同じ距離になります。下のVについても同様です。

UA＝UBなのでUはABの両端から等距離、VA＝VBなのでVも等距離です。この二点を通る直線はABの中点Mを通り、ABと垂直に交わります。図の向きを変えても、AとBからの距離の等しさが、線の位置を決める手がかりになります。

完成後に定規の目盛りで中点を探して答えの線を移すのではありません。コンパスが作った等しさを根拠に線を決めます。中点を求める設問なら、答えは作った直線とABとの交点Mです。直線を求める場合と、点を求める場合を読み分けます。

角の二等分線は、二組の等しい長さを分ける

角の頂点をOとします。Oを中心に円弧をかき、二辺との交点をP、Qにします。一つの円弧なので、OPとOQは同じ半径rです。二辺へ別々の開きで点を打ってしまうと、この最初の等しさを作れません。

次にP、Qをそれぞれ中心として、互いに同じ半径sの円弧をかきます。二つの交点を取れるよう、sをPQの半分より大きくします。二円の交点のうち、角の内側でOから遠い方をRに選びます。Oを始点としてRを通る半直線が、求める内角の二等分線です。

編集部作成図。青い弧の半径rと、薄緑の二円の半径sは異なります。角の内側でOから遠い交点Rを選び、Oを始点とする橙の半直線を引きます。

この図は、最初のrと次のsを違う大きさにしてあります。それでもOP＝OQ、PR＝QR、ORは共通という三つの関係が成り立ちます。三角形OPRと三角形OQRは三辺がそれぞれ等しいため合同で、Oにある二つの角が等しくなります。

必要なのはrとsを等しくすることではなく、OPとOQの組、PRとQRの組の等しさです。ベネッセの角の作図図も、最初にO中心の円をかき、その後に二辺上の交点を中心とする等しい半径の円をかく順序を示しています。図は原本で確認し、本稿の図は新しく作りました。

sを最初のrと同じにする方法でも作図できます。その場合には二円の交点の一つがOになるので、Oとは別の交点をRとして選びます。Oを選んでもOとOでは方向が決まらず、二等分線を引けません。開きを変えるかどうかだけでなく、使う交点も確かめましょう。

中心・半径・引く線の三つを、別々に直す

線がずれていたとき、完成図だけを見て「不器用だから」と決めつけないようにします。針を置いた点、同じに保った開き、最後に通した点を順にたどると、かき直す範囲を選べます。

例えば角の図でP/Qの二円だけ失敗しても、最初のOP＝OQが正しく作れていれば、その二点は使えます。P/Qの二円を同じ開きでかき直し、交点を取り直します。反対に、最初のOPとOQが不等なら、後ろだけ整えても最初の条件は直りません。

作図の跡は、どの中心と開きを使ったかを説明する材料です。線を消して清書する前に、先生が見て経緯を追える図を残してください。実際の答案では、学校や設問の指定に従い、必要な円弧や印を残します。

三つの操作案を、等しい長さの式で判断する

次は編集部作成の確認例です。角の最初の円弧からOP＝OQが作れているとして、後の操作を比べます。正しそうな見た目を選ぶのではなく、PR＝QRを作れるかを考えてください。答えを見る前に、同じ半径にした二つの中心を指します。

案一：Oで使った開きを少し小さくし、PとQではその小さい開きを共通に使う。二円は二か所で交わり、遠い交点をRに取る。この案は成立します。最初のOP＝OQは残り、次のPR＝QRも作れるからです。rとsが違っていることだけを、間違いの理由にはしません。

案二：P中心の円弧をかいた後、Qに針を置くときだけ開きを小さくする。こちらは、そのままではPR＝QRが作れません。交点は二円それぞれの中心からの半径を表すので、半径を変えた二円が交わっても、二つの距離は同じになりません。交点が見つかったことだけで、作図の条件を満たしたとは判断しないようにします。

案三：PとQ中心の二円を同じ開きで作り、Rも正しく取ったが、最後にPからRへ線を引く。PRは円の半径であって、二等分したい角の頂点Oを始点にしていません。円弧の組は利用し、答えの線をORへ直します。案二と同じように二円まで全部かき直す必要はありません。

この三案を判定したら、根拠を一行ずつ残しましょう。「開きを変えたから全部だめ」では案一まで誤りにし、「交点があるからよい」では案二を見落とします。案三では円弧より後の線の選択が問題です。何が保たれ、何が崩れたかを式と点の名前で言うと、修正する範囲がはっきりします。

先生と確認するときも、初めから「開きを変えてはいけない」と答えを渡す前に、本人の選んだ案と理由を聞いてもらいます。同じ案を見直して説明できたのか、図を回転させた別問題でも判断できたのかは別に記録してください。少ない例でも、判断に使った条件が分かる記録が相談に役立ちます。

図の向きを変え、同じ組を言えるか確かめる

本稿のABは横向きですが、斜めに置いた線分でもAとBの二円を同じ開きにします。答えは紙に対して縦とは限りません。元のABに垂直で中点を通るかを説明しましょう。図の見た目を再現することと、同じ条件で作ることは別です。

角でも、Oの位置や二辺の向きを変えた別の図を用意します。作図前に「Oでrの組、PとQでsの組」と言い、どの二つの長さが等しくなるかを書きます。答えの線を見せてもらってからなぞった場合は、その条件も記録してください。

自力で進めたところ、止まった操作、受けた助言、その後に説明できた等しさの四つを残します。「PとQに印を付ける助言の後、PR＝QRと言えた」は観察です。「作図の力がない」と広く原因を決めず、どの段階の確認が役立ったかを先生と共有します。

家庭教師へは、完成図より開きを保った組を見せる

図形の条件整理は補助線と根拠の整理、文章を式へ移す課題は中学生の文章題の相談と区別できます。体験授業では、正解した図だけでなく、どこで針や開きが動いたか分かる途中図を使いましょう。

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