確率の分母が合わないときは、計算の前に「取り出したものを戻すか」「順序を区別するか」「同じ程度に起こる結果で数えたか」を確かめます。同じカードの表で戻す条件だけを変え、どのマスが増減するかを説明しましょう。色だけの枝を等しい確率だと決めつける誤りも見直します。

分母は「図に書いた枝の数」だけでは決まらない

確率を、条件に合う場合の数をすべての場合の数で割って求めるには、数えた一つ一つが同じ程度に起こると考えられることが必要です。樹形図の先が三つだから、どれも3分の1、と自動的には決まりません。まず、何を一つの場合として数えたかを見直します。

ベネッセの中学数学Q&Aは、「同様に確からしい」を「同じように起こる可能性がある」と説明しています。また、同じ種類のさいころや球でも、一つずつ区別して考えることを示しています。見た目を細かくするためではなく、等しい重さで数えられる結果まで分けるためです。

以下の表・カード・色札は、かてナビが説明用に新規作成した例です。現実の抽選や生徒の実験結果ではありません。カードは裏から区別できず、よく混ぜ、各カードが同じ程度に選ばれるものとして考えます。戻す場合は、戻した後にもう一度混ぜる条件も付けます。

先に取り出し方を一行にする

問題文から、何枚あるか、何回取るか、取ったものを戻すかを拾います。「戻さない」を見落としたまま計算を進めると、存在しない二回目の選択まで数えてしまいます。最初に取り出す操作を言葉で書き、その後で表や樹形図を選びましょう。

今回の自作例では、1・3・8と書いた三枚のカードから、一枚ずつ二回取り出します。最初の数字を十の位、次の数字を一の位にするので、13と31は別の結果です。単に二枚の数字を足す問題とは、順序の役割が違います。

ベネッセの確率の使い分けの解説でも、取り出した玉を戻す場合と戻さない場合を分けています。本稿では高校の公式の分類を暗記するのではなく、二回目の直前に何が残っているかを、カードで確かめるところへ使います。

戻さないとき：表の対角の三マスを除く

縦を一回目、横を二回目として、三行三列の表を用意します。カードを戻さないので、1の後に同じ1は取れません。3の後の3、8の後の8も同様です。11・33・88のマスに「不可」と書き、起こる結果と見分けます。

起こり得るのは13・18・31・38・81・83の六通りです。一回目が三通りあり、それぞれの後には二通りあるので、3×2＝6とも確かめられます。九マス描いたことと、起こる結果が九通りあることは同じではありません。

「十の位が一の位より小さい確率」を求めるなら、13・18・38の三通りに印を付けます。表の◎がその三マスです。すべての六通りは同じ程度に起こると考えられるので、確率は3/6＝1/2です。条件に合わない31なども、分母には含めます。

もし3/9と書いたら、約分ではなく分母を作る段階へ戻ります。「起こり得ない11などを含めていないか」と聞き、表から除く理由を本人に説明してもらいましょう。先に正しい6を教えるだけでは、次の問題で同じ条件を見落とすかもしれません。

戻すとき：同じ表の三マスが使えるようになる

次は、取り出したカードを毎回戻してよく混ぜます。数字と問いは変えず、取り出し方だけを変えます。二回目にも三枚すべてがあるので、先ほど不可だった11・33・88も起こります。

全部で3×3＝9通りです。一方、十の位が一の位より小さい結果は、13・18・38のまま三通りです。追加された11・33・88は数字が等しく、「小さい」という条件には合いません。したがって確率は3/9＝1/3になります。

変わったのは条件に合う三マスではなく、全体に含める三マスです。「戻すと分母が大きくなる」と丸暗記せず、どの結果が増えたかを表で指してください。別の問いでは分子も変わるため、戻す問題は常に確率が小さくなるという規則にはしません。

例えば、同じ二回の数字が等しい確率なら、戻さない場合は0/6＝0、戻す場合は11・33・88の三通りで3/9＝1/3です。同じ条件変更でも、求めることが違えば確率の変わり方は違います。

色だけの樹形図を、同じ重さで数えない

もう一つ、自作の例を考えます。赤い札三枚と白い札一枚から、戻さずに順に二枚取ります。どの札も同じ形で、裏から色が分からず、各札が同じ程度に選ばれるものとします。色だけ書くと、赤赤・赤白・白赤の三つになり、白白は起こりません。

しかし、この三つが同じ程度に起こるとはいえません。赤札を赤1・赤2・赤3、白札を白1と区別します。区別は、札に実際に印刷されているという設定を追加するのではなく、計算で一枚ずつ追うための名前です。

一回目に赤1を取った後は、赤2・赤3・白1の三候補があります。赤2の後は赤1・赤3・白1、赤3の後は赤1・赤2・白1、白1の後は赤1・赤2・赤3です。四つの出発点から三つずつ枝を伸ばし、同じ札を二度取る枝を作りません。

区別した順序付きの結果は4×3＝12通りです。赤赤を作る対は六つあり、赤白の三つと同じ重さではありません。6＋3＋3＝12と全部を回収でき、確率の合計も1です。「三つの言い方があるから三分の一」という誤りを、元の十二通りへ戻して直せます。

「小さい」と「以下」の違いは、分子だけを点検する

戻す表で、問いを「十の位が一の位以下」に変えてみます。取り出し方は同じなので、全体は九通りのままです。「以下」は等しい場合も含むため、13・18・38に11・33・88を加えた六通りが条件に合い、6/9＝2/3となります。

戻さない表なら、もともと同じ数字を二度選べません。「小さい」を「以下」にしても、増える結果はなく3/6＝1/2のままです。言葉を変えたら必ず分子が増えると覚えるのではなく、起こる結果の中に、等しい対が存在するかを探します。

この確認は、戻す条件の見落としと、大小の語の見落としを分けるために使えます。分母が違ったら操作の一行と不可のマス、分母は合うが分子が違ったら条件の語と印へ戻ります。誤答の数値だけを見て計算ミスと片づけず、どの表のどこから数えたかを示しましょう。

表と樹形図は、抜けを説明できる方から使う

二回の選択は、縦横の表で全体を見渡せます。戻さない同じカードのマスに印を付けることもできます。一回目ごとの残りを説明したいときは、樹形図で候補を順に書く方法も使えます。表か樹形図かという名称だけで正解を決めません。

上の三枚の例なら、1から3と8、3から1と8、8から1と3へ枝を伸ばせば、戻さない六通りと一致します。戻すなら、各出発点から1・3・8へ三本ずつです。二つの方法で違う数が出たら、どの対が片方だけにあるかを照合します。

条件が不明なときは推測で埋めず、学校教材の問題文を確認してください。「同時に二枚選ぶ」と「順に二枚で二桁の数を作る」では数える対象も変わります。本稿の六通りを、どんな二枚の選び方にもそのまま当てはめないようにします。

家庭教師には、最初の分母と消したマスを見せる

相談用の答案には、取り出し方の一行、最初の表や枝、全体の数、条件に合う印、分数を残します。正解だけを清書すると、戻す条件を読めなかったのか、枝は合うのに分子だけ数え違えたのかが見えにくくなります。

「戻さないことを指さす助言の後、11・33・88を自分で除いた」は観察です。「注意力がないから確率ができない」という原因の決めつけとは分けます。ヒント前と後の表を並べ、どの声かけで説明が変わったかを書きましょう。

立式全体の困り方は中学生の数学文章題の相談法、期限が近いときの範囲整理は数学の答案と期限の整理も参考になります。高校受験の家庭教師選びでは、途中の数え方を説明してもらえるかを確認してください。

体験授業には消す前の表を用意します。かてナビの相談メッセージは無料で何通でも利用でき、外部連絡先や詳しい住所の共有は生徒の有料登録後です。最初は教材と困った箇所を伝え、授業料や復習の担当範囲は個人契約の条件として相談しましょう。

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